Propagation of Surface Waves

표면파의 진행

(참고: Currie 유체역학 6.3절)

중력이 영향을 많이 끼치는 표면파에서 파의 진행을 수학적으로 표현하기 위해 기본 유체역학의 방정식에 kinematic/dynamic 경계 조건, bed 조건 등을 이용할 수 있다.

표현을 보다 단순하게 하기 위해 표면파를 유지하는 복원력 중 하나인 표면장력의 영향은 고려하지 않도록 하자.

free surface(자유경계)는 interface를 따라 free shear stress인 것을 말한다. 이를 따라 흐르는 wave는 작은 진폭의 wave는 조화함수의 형태로 표현할 수 있다.

$$ \eta (x,t) = \epsilon \sin {{2 \pi} \over {\lambda}} (x-ct) $$

(1) 연속방정식: 속도포텐셜의 Laplace equation이 된다.

$$ {\partial^2 \phi \over {\partial x^2}}+{\partial^2 \phi \over \partial y^2} = 0 $$

(2) kinematic boundary condition

$$ {\partial \phi \over {\partial y}}(x,0,t) = {\partial \eta \over \partial t}(x,t) $$

(3) dynamic boundary condition (from Bernoulli's eqn)

$$ {\partial^2 \phi \over {\partial t^2}}(x,0,t) + g {\partial \phi \over \partial y}(x,0,t) = 0 $$

(4) 바닥 조건

$$ { {\partial \phi} \over {\partial y}} (x,-h,t) = 0 $$

연속방정식은 Laplace 방정식으로 이를 변수 분리의 방법으로 풀고, 조건들을 통해 일반해를 구해보면

$$ \phi (x,y,t) = C_2 \cos { {2 \pi} \over {\lambda}} (x-ct) \left( \tanh  {{2 \pi} \over {\lambda}} \sinh  {{2 \pi} \over {\lambda}} + \cosh  {{2 \pi} \over {\lambda}} \right) $$

dynamic 경계조건을 통해 파의 속도에 대한 식을 얻는다.

$$ {c^2 \over gh} = {{\lambda} \over {2 \pi h}}\tanh {{2\pi h}\over{\lambda}} $$

위의 수식에서 표면파에서 중요한 성질인 파의 dispersion을 살펴볼 수 있다.

dispersion이란 파수(또는 파장, 진동수)에 따라 파의 진행속도가 달라짐을 뜻한다.

위의 수식으로부터 다음을 알 수 있다.

1. 파장이 길수록(파수가 낮을수록) 진행속도는 빨라진다. 

2. 물의 깊이가 얕다면 파속은 파장에 무관하다. $c^2 = gh$