Basic of functions

함수 y=f(x)

 

함수는 사상(mapping)이라고도 한다.

X집합에 있는 정의역(domain), 함숫값일 가능성이 있는 Y집합을 공역(codomain)이라고 한다.

f에 의해 각각의 x들이 해당하는 값이자, Y집합의 부분집합에 해당하는 이를 치역(range)이라고 한다.

 

예를 들어 좌표평면 위에서 그려지는 y는 x제곱이라는 함수가 있을 때

정의역 집합과 공역 집합이 자연수라 하면, 치역은 {1, 4, 9, 16, ...}에 해당하는 값이 되는 것이다.

 

이 때 f의 input value에 해당하는 x를 독립 변수(independent variable)

y는 f의 output value이자, x에 의존하는 값이므로 종속 변수(dependent variable)이라고 한다.

 

 

증가함수와 감소함수

구간 I에 있는 두 점 a, b에서 a<b의 관계를 만족할 때

 - 항상 f(a)<f(b)이면 f는 I에서 increasing.

 - 항상 f(a)>f(b)이면 f는 I에서 decreasing.

 

전사함수, 단사함수, 전단사함수

1. 치역과 공역이 같은 함수를 전사함수(surject function)

2. 함수의 결과값이 다르면, 함수의 입력값이 다른 함수를 단사함수(inject function)

3. 모든 정의역이 대응되는 값이 있으며, 대응되는 값들은 모두 다른 함수를 전단사함수(biject funcition)

 - 단사함수를 일대일함수, 전단사함수를 일대일대응함수(one-to-one correspondence function)라고도 한다.

예) 미팅과 함수

미팅 자리에서 모든 사람이 마음에 안 드는 사람이 없다고 생각한다면 일단 전사함수의 상황!

미팅 자리에서 모든 커플이 성사되면서, 남는 사람이 없으면 전단사함수(일대일대응)

미팅 자리에서 최대 커플이 나오는데, 처음부터 남녀비율이 1:1이 아니었다면 단사함수(일대일함수)

 

평행이동과 대칭함수

원함수 f(x)에서

- x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동 y-b=f(x-a) 또는 y=f(x-a)+b

- x축(y=0)에 대칭인 함수 -f(x) (짝함수, 우함수, even function)

- y축(x=0)에 대칭인 함수 f(-x)

- 원점(0,0)에 대칭인 함수 -f(-x) (홀함수, 기함수, odd function)

- 점 (a,b)에 대칭인 함수 2b-y=f(2a-x)

 

역함수(inverse function)

- 일대일대응일 때 정의되며, x=f(y)의 관계를 만족한다.

- 기하학적으로 y=x에 대칭인 함수

 

 

다항식(polynominal)

다항식의 차수(degree): 가장 높은 최고차항의 거듭제곱 n값, 이는 nonnegative integer

a0, a1, a2 등을 다항식의 계수(coefficient of the polynominal)이라고 한다.

 

기초 함수들

분수함수(rational function): 두 다항식의 비로 정의하는 함수

대수함수(algebric funcition):  한 가지 이상의 미지수로 대수적 연산(addition, subtraction, multiplication, division, taking roots)을 포함한 식 

지수함수(exponential function): 거듭제곱이 포함된 함수

로그함수(logarithmic function): 지수함수의 역함수

삼각함수(trigonometric function): sin, cos, tan, csc, sec, cot

초월함수(Transcendental function): 현수선(Catenary) etc

 

합성함수(composite function)

  f composed with g

- 중요한 합성함수의 성질