삼각형 각 꼭짓점과의 거리의 제곱의 합의 최소가 되는 점은 무게중심이다.

고1수학

세 점 $ (x_1, y_1) $, $ (x_2, y_2) $, $ (x_3, y_3) $ 그리고 점 $ (x, y) $에 대해 $$ PA^2+PB^2+PC^2 $$ 가 최솟값이 되게 하는 점은 삼각형의 무게중심이다.

증명

$$ PA^2+PB^2+PC^2 = f(x_1,x_2,x_3)+g(y_1,y_2,y_3) $$

여기서 $ f(x_1,x_2,x_3) $ 부분만 보면,

$ f(x_1, x_2, x_3) = 3x^2 - 2(x_1+x_2+x_3)x + (x_1^2+x_2^2+x_3^2) $

이차식 $ax^2+bx+c (a>0) $에서 $ \displaystyle a(x+ \frac{b}{2a})^2+k $ 로 바꿔쓸 수 있고, $ \displaystyle x=- \frac{b}{2a}$에서 최솟값을 가지는 것을 알 수 있다.

즉 이차식 $ \displaystyle3x^2 - 2(x_1+x_2+x_3)x+(x_1^2+x_2^2+x_3^2) $는 $ \displaystyle x = - \frac{2(x_1+x_2+x_3)}{2\times3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3} $에서 최솟값을 가진다.

마찬가지로 $ \displaystyle y= \frac{y_1+y_2+y_3}{3} $ 에서 최솟값을 가진다. (증명 끝)